Skąd wiemy, że wszystkie elektrony są identyczne? Część 2

W części 1 omówiłem paradoks Gibbsa, paradoks mechaniki statystycznej z końca XIX wieku, którego rozdzielczość sugerowała, że ​​cząstki muszą być identyczne i nie do odróżnienia na pewnym poziomie. To była pierwsza wskazówka, która sprawiła, że ​​niektórzy zaczęli myśleć o tym problemie - ale to nie było tak naprawdę ostatnie słowo.

W części 2 uzupełnię wyjaśnienie, w jaki sposób fizycy wiedzą, że wszystkie cząstki elementarne (takie jak elektron) są identyczne, zagłębiając się w mechanikę kwantową, fascynujący obszar fizyki, który został odkryty i rozwinięty w ciągu pierwszych 3 dekad XX wieku wiek (1900–1930). Czytanie części 2 powinno być całkowicie możliwe bez czytania części 1; mimo że oba mają związek z tym, dlaczego cząstki są identyczne, obie są samowystarczalne i żadna z nich nie jest zależna od drugiej. Część 1 jest w zasadzie wyjaśnieniem, jakie można było zrozumieć około 1900 r., Natomiast część 2 jest wyjaśnieniem w rozumieniu 1930 r. - po zakończeniu mechaniki kwantowej.

W klasycznej mechanice statystycznej można przedstawić różne możliwości stanu układu według prawdopodobieństw. Na przykład, jeśli znasz temperaturę i ciśnienie gazu, istnieje rozkład statystyczny (zwany „funkcją gęstości prawdopodobieństwa”) różnych cząstek tworzących gaz. Cząsteczki te podskakują losowo. W wysokiej temperaturze istnieje większe prawdopodobieństwo szybkiego poruszania się pojedynczej cząsteczki gazu; w niskiej temperaturze istnieje większe prawdopodobieństwo, że pojedyncza cząsteczka gazu porusza się powoli. Ale tak czy inaczej istnieje cała gama możliwości.

W mechanice kwantowej to samo jest prawdą, ale staje się nieco bardziej skomplikowane. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej podana jest przez kwadrat wielkości funkcji złożonej zwanej „funkcją falową”. Przez liczbę zespoloną rozumiem zamiast funkcji liczb rzeczywistych (x = 1, 2, 3,4, 9,8 itd.), Jest to funkcja liczb zespolonych, z których każda ma część rzeczywistą i urojoną (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i itp.) Jeśli nigdy wcześniej tego nie spotkałeś, jestem pewien, że brzmi to naprawdę dziwnie. Ale nie mogę powiedzieć nic więcej: tak właśnie działa mechanika kwantowa - to trochę dziwne!

Na przykład, jeśli funkcja falowa dla elektronu wynosi 1 / at2 w pozycji x i 1 / √2 w pozycji y, to po ich kwadracie otrzymujemy prawdopodobieństwa: prawdopodobieństwo znalezienia go w pozycji x wynosi 1/2 a szanse znalezienia go przy y wynoszą również 1/2. Masz więc strzał 50/50, jeśli szukasz go w dowolnej lokalizacji.

Jak dotąd jest to nadal identyczne z klasyczną mechaniką statystyczną. Jeśli chcesz, możesz po prostu przedstawić funkcję gęstości prawdopodobieństwa w fizyce klasycznej przez pierwiastek kwadratowy z jej samego wszędzie i nic by się nie zmieniło. Różnica polega na tym, że w mechanice kwantowej funkcja falowa działa mniej jak abstrakcja mentalna, a bardziej jak rzeczywista fala fizyczna, ponieważ może wykazywać zakłócenia.

Ciemne i jasne frędzle interferencyjne

Klasycznie fale prawdopodobieństwa nie zakłócają się wzajemnie. Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą dodatnią, więc jeśli każda z dwóch różnych cząstek gazu ma prawdopodobieństwo p znalezienia się w miejscu x, prawdopodobieństwo znalezienia którejkolwiek z nich wynosi tylko 2 p. Klasycznie prawdopodobieństwo wystąpienia różnych zdarzeń (lub różnych wyników pomiaru) zawsze się sumuje, nigdy się nie odejmuje.

Ale w mechanice kwantowej sama funkcja fali (a nie jej kwadrat) działa jak fala. Ponieważ funkcja falowa w każdym punkcie może być dowolną liczbą zespoloną (w tym dodatnimi lub ujemnymi liczbami rzeczywistymi), czasami łącząc różne możliwości, prawdopodobieństwa dodają, a innym razem odejmują! Kiedy występuje odejmowanie - na przykład jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch różnych zdarzeń całkowicie anuluje, uniemożliwiając jedno z nich - nazywa się to interferencją kwantową.

Załóżmy, że mamy 2 elektrony i że istnieją tylko 2 lokalizacje, w których każdy elektron można znaleźć, lokalizacja x lub lokalizacja y. Gdyby dwa elektrony były rozróżnialne, moglibyśmy oznaczyć je „elektronem A” i „elektronem B”, a to oznaczałoby, że istnieją 4 możliwe stany, w których może znajdować się układ 2-elektronowy. Zarówno A, jak i B są na x, oba są na w y, A jest w x, a B jest w y, lub B jest w x, a A jest w y. Podsumowując, mamy AB = xx, yy, xy lub yx. Popularną notacją do reprezentowania takich stanów w mechanice kwantowej jest stosowanie nawiasów kątowych: | xx>, | yy>, | xy> i | yx>.

Ale badania naukowe w latach dwudziestych XX wieku wykazały zaskakujący fakt: układ 2 takich elektronów nie może znajdować się w 4 różnych stanach, może istnieć tylko jeden możliwy stan!

Częściowo z tego powodu powinieneś zgadnąć: jeśli nie ma sposobu na odróżnienie elektronu A od elektronu B, wówczas stany | xy> i | yx> są identyczne. Są to tylko dwa różne sposoby reprezentowania tego samego stanu fizycznego. Tak czy inaczej, jest 1 elektron w pozycji x i 1 w pozycji y.

Ale to wciąż pozostawia nam 3 stany, a nie 1 - co jest złego w takim stanie jak | xx>, w którym oba elektrony są w pozycji x, lub | yy>, gdzie oba są w pozycji y? Okazuje się, że więcej niż 1 elektron nigdy nie może zajmować tego samego stanu. W 1925 r. Wolfgang Pauli zaproponował tę zasadę - znaną obecnie jako zasada wykluczenia Pauliego - aw 1940 r. Był w stanie udowodnić, stosując kwantową teorię pola, że ​​ma ona zastosowanie nie tylko do elektronów, ale do wszystkich cząstek określonego typu (tych z połową liczb całkowitych spin - elektrony mają spin 1/2).

Wolfgang Pauli

Za daleko posunęłbym się do wyjaśnienia, czym jest spin w tym poście (jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, zachęcam do przeczytania mojego wyjaśnienia dotyczącego spin-1/2 tutaj na Quora, które właśnie powiadomili wysłano mi e-mailem do ponad 100 000 osób wczoraj). Ale okazuje się, że wszystkie cząstki kwantowe dzielą się na 1 z 2 kategorii: fermiony lub bozony. Fermiony mają obrót o połowę liczby całkowitej i przestrzegają zasady wykluczenia Pauliego, podczas gdy bozony mają obrót liczby całkowitej i nie robią tego.

Fermiony mają zwykle więcej właściwości „podobnych do materii”. Na przykład elektrony, protony i neutrony są fermionami spin-1/2. To one tworzą budulce materii (atomy, cząsteczki itp.) Być może słyszeliście gdzieś lub w innym miejscu, że materia nie może zajmować tej samej przestrzeni w tym samym czasie. Wynika to częściowo z zasady wykluczenia Pauliego (jak również odpychania elektrostatycznego między różnymi atomami).

Bozony mają zwykle więcej właściwości „przypominających promieniowanie”. Na przykład fotony - cząstki odpowiedzialne za światło i inne promieniowanie elektromagnetyczne (fale radiowe, mikrofale, Wi-Fi, UV, promieniowanie rentgenowskie, promienie gamma itp.) - są bozonami spin-1. Bozon Higgsa odkryty w LHC w 2012 r. Jest bozonem spin-0. I większość fizyków teoretycznych uważa, że ​​w grawitacji pośredniczy bozon spin-2 zwany grawitonem, chociaż nie zostało to jeszcze wykryte w laboratorium.

Zasada wykluczenia Pauliego to nie tylko zasada aksjomatyczna, to wniosek, który można wywnioskować z naszych najlepszych podstawowych teorii fizyki. W rzeczywistości wymaga zarówno teorii szczególnej teorii względności Einsteina w połączeniu z mechaniką kwantową, aby w pełni wyciągnąć z wniosku zasadę wykluczenia Pauliego. Ze względu na sposób, w jaki działa spin, funkcja falowa 2 bozonów jest zawsze zmuszona do „symetrycznej”, podczas gdy funkcja falowa 2 fermionów zawsze musi być „antysymetryczna”.

W tym kontekście symetryczny oznacza po prostu, że jeśli zamienisz położenie dwóch bozonów, nic się nie stanie - otrzymasz dokładnie ten sam stan. Antysymetryczny oznacza coś podobnego, ale niezupełnie: jeśli zamienisz lokalizacje dwóch identycznych fermionów, wrócisz do tego samego stanu, ale ze znakiem minus przed nim.

Mechanika kwantowa odbywa się w rodzaju przestrzeni wektorowej zwanej „przestrzenią Hilberta”, w której za każdym razem, gdy masz 2 stany, istnieje inny stan, który można z nich utworzyć, dodając je do siebie w „kombinacji liniowej”. Na przykład, jeśli | xy> i | yx> są stanami w przestrzeni Hilberta, to | xy> + | yx> jest także stanem w tej samej przestrzeni Hilberta. Podobnie jest | xy> - | yx> lub dowolna inna kombinacja liniowa, taka jak 3 | xy> -2 | yx>. Ten sposób łączenia stanów w mechanice kwantowej nazywa się „superpozycją”. Zamiast zdecydowanie być w jednym miejscu lub zdecydowanie w innym, elektron ma pewną szansę na bycie w jednym i pewną szansę na bycie w innym.

Ponieważ jednak stany te reprezentują funkcję fali kwantowej, a wspomniałem wcześniej, że kwadrat wielkości funkcji fali kwantowej jest rozkładem prawdopodobieństwa, stany muszą zostać znormalizowane w taki sposób, aby suma prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w dowolnym miejscu sumowała się do 100% (lub 1). Dlatego współczynniki w powyższych kombinacjach liniowych należy podzielić przez ogólny współczynnik, aby je znormalizować.

Łącząc to z wymogiem, że fermionowe funkcje falowe muszą zawsze być antysymetryczne, oznacza to, że jedynym stanem, w którym mogą znajdować się te 2 elektrony (zakładając, że są dla nich tylko 2 możliwe lokalizacje), jest 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (Lub to samo pomnożone przez dowolną liczbę zespoloną wielkości 1, która jest fizycznie równoważna.) Jeśli zamienimy w tym xiy, otrzymamy 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> co jest dokładnie -1 razy stan pierwotny. Matematycznie jest to inny stan w przestrzeni Hilberta, ale fizycznie oznacza to to samo. Jeśli wyrównasz współczynniki 1 / √2, oznacza to, że istnieje szansa 1/2, że elektron A jest na x, a elektron B na y, a szansa 1/2, że elektron B jest na x, a elektron A jest na y. 50/50

Zrobiliśmy dwa stany, które są fizycznie nie do odróżnienia - | xy> i | yx>, i utworzyliśmy ich superpozycję, która ma tę antysymetryczną właściwość wymaganą od fermionów. Ale co ze stanami | xx> i | yy>? Nie można ich nigdy uczynić antysymetrycznymi, ponieważ zamiana x na x lub y na y nic nie zmienia. Ponieważ są one wewnętrznie symetrycznymi stanami, po prostu nie mogą istnieć dla fermionów - dotyczą tylko bozonów.

Jak można się domyślić, oznacza to, że dla bozonów istnieją 3 możliwe stany, w których mogą istnieć zamiast tylko 1. Dla 2 fotonów, które mogą znajdować się w położeniu x lub w położeniu y, 3 różne stany, w których mogą się znajdować, to | xx> , | yy> lub 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - wszystkie z nich są idealnie symetryczne, jeśli zamienisz x i y. (Bez znaku minus.)

Podsumowując, para rozróżnialnych cząstek, które mogą znajdować się w 2 różnych lokalizacjach, ma 4 możliwe stany, w których mogłyby się znajdować. Podczas gdy para fermionów ma tylko 1 możliwy stan, a para bozonów ma 3 możliwe stany. Prowadzi to do bardzo różnych zachowań statystycznych dla fermionów i bozonów i wyjaśnia, dlaczego wiele właściwości 2 rodzajów cząstek jest tak różnych.

We wcześniejszym poście opowiedziałem, jak badanie entropii Maxa Plancka pod koniec 1800 roku doprowadziło do pierwszego odkrycia mechaniki kwantowej. W tym samym czasie istniała już wielka wskazówka, znana już od pewnego czasu - znana zagadka dotycząca termodynamiki Maxwella i Boltzmanna (która później stała się mechaniką statystyczną). Korzystając z prawa ekwipartycji, klasyczna termodynamika przewidziała niewłaściwe pojemności cieplne wielu gazów w niskich temperaturach.

„Pojemność cieplna” to ilość ciepła, jaką coś może pochłonąć, dopóki jego temperatura nie wzrośnie o ustaloną ilość (zwykle 1 stopień Celsjusza). Niektóre gazy są w stanie pochłonąć dużo ciepła (energii cieplnej) bez znacznego wzrostu temperatury. Natomiast w przypadku innych osób wystawienie na działanie niewielkiej ilości ciepła spowoduje wzrost termometru. Zgodnie z teorią, według Maxwella i Boltzmanna, niektóre gazy lepiej pochłaniają i przechowują energię cieplną niż inne, ponieważ mają większą liczbę wewnętrznych stopni swobody - te „stopnie swobody” służą skutecznie jako pojemniki, w których energia może być magazynowana. Twierdzenie o ekwipartycji (zaproponowane przez Maxwella, a następnie udowodnione bardziej ogólnie przez Boltzmanna) stwierdza, że ​​w równowadze każdy gaz (lub ciecz lub ciało stałe) będzie miał całkowitą energię wewnętrzną równą 1/2 NkT. Gdzie N jest liczbą stopni swobody w tym gazie, T jest temperaturą tego gazu, a k jest po prostu stałą Boltzmanna. Innymi słowy, gaz będzie miał 1/2 kT energii cieplnej na stopień swobody.

Na przykład, jeśli mamy gaz wodoru monatomowego (monatomiczny oznacza, że ​​każda cząsteczka jest pojedynczym atomem), każdy atom ma 3 stopnie swobody, ponieważ może poruszać się w jednym z 3 kierunków: w górę lub w dół, w lewo lub w prawo, oraz do tyłu i do przodu (3 kierunki, ponieważ żyjemy w trójwymiarowej przestrzeni). Energia cieplna może być pochłaniana przez atom wodoru poprzez zwiększenie jego energii kinetycznej w dowolnym z 3 niezależnych kierunków.

Zdjęcie: astarmathsandphysics.com

Z drugiej strony, jeśli mamy gaz dwuatomowych cząsteczek wodoru (diatomiczny oznacza, że ​​każda cząsteczka składa się z 2 atomów połączonych wiązaniem chemicznym), wówczas istnieje więcej stopni swobody (możliwe sposoby, w jakie każda cząsteczka gazu może się poruszać) . Oprócz swobody poruszania się liniowo w dowolnym z 3 wymiarów, ma także swobodę obrotu wzdłuż dwóch różnych osi.

Chociaż 75% masy materii we wszechświecie to wodór jednoatomowy, większość wodoru na Ziemi to wodór dwuatomowy. Jest tak, ponieważ wodór jest monatomiczny tylko w ekstremalnie wysokich temperaturach i ciśnieniach, które istnieją w gwiazdach (takich jak słońce). W zakresie temperatur występujących w pobliżu powierzchni Ziemi wodór naturalnie paruje się w fazie okrzemkowej. Ale w 1800 roku wydawało się dziwne, że w zależności od dokładnej temperatury wodór dwuatomowy może mieć różne pojemności cieplne.

Źródło zdjęcia: Hyperphysics

W temperaturze pokojowej wodór ma pojemność cieplną na cząsteczkę zbliżoną do 5/2 k (lub jeśli jest na mol zamiast na cząsteczkę, jest to zapisane jako 5/2 R jak na schemacie). Zgodnie z poglądem Maxodyna i Boltzmanna na termodynamikę oznacza to 5 stopni swobody (w rzeczywistości 7, jeśli uwzględnisz 2 dodatkowe stopnie swobody dla wibracji). Ale dokładna wartość w temperaturze pokojowej wynosi około 2,47 tys. A gdy gaz schładza się poniżej 0 Celsjusza (273 K), stopniowo spada z 2,47 tys. Do końca, by ostatecznie osiąść na 1,5 tys. Ale 3/2 k sugerowałoby, że ma tylko 3 stopnie swobody - innymi słowy, że jest to gaz monatomowy! Dlaczego zimniejszy wodór stałby się gazem monatomowym w niskich temperaturach? A co to znaczy mieć wartość między 3 a 5 stopni swobody? Pojemność cieplna miała być niezależna od temperatury. Znane były podobne problemy ze zmierzonymi pojemnościami cieplnymi tlenu i azotu.

W 1800 roku zaproponowano wiele wyjaśnień tej zagadki, ale nikt nie zrozumiał pełnej odpowiedzi aż do rozwoju mechaniki kwantowej. Pełna odpowiedź brzmi: kwantyzowane są sposoby wzbudzania rotacyjnych stopni swobody w cząsteczkach. Klasycznie coś może się obracać z dowolną prędkością bez względu na to, jak wolno - więc każda ilość energii, bez względu na to, jak mała, może zacząć coś obracać. Ale w mechanice kwantowej pęd kątowy jest kwantyzowany, więc obroty mogą zachodzić tylko w pewnych dyskretnych przyrostach. Albo cząsteczka zaczyna się szybko obracać, albo wcale - wcale nie ma między nimi. Z tego powodu w niskich temperaturach średnia ilość energii wymienianej między przypadkowymi zderzeniami cząsteczek jest po prostu zbyt mała, aby wzbudzić te stopnie swobody. W niskich temperaturach gazowy wodór jest nadal diatomiczny, ale 3 translacyjne stopnie swobody są jedynymi, które mogą być wzbudzone - po prostu nie ma wystarczającej ilości energii, aby uruchomić cząsteczki. Gdy temperatura wzrośnie powyżej pewnego progu, typowe energie związane z zderzeniami stają się wystarczające do wzbudzenia rotacji. Im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo wystarczająco wysokich energii, aby spowodować obrót; dlatego pojemność cieplna stopniowo wzrasta do poziomu, jakiego można by oczekiwać od czegoś złożonego z cząsteczek o 5 stopniach swobody. Jeśli dalej będziesz podnosić temperaturę, ostatecznie zrobi się wystarczająco gorąco, aby wzbudzić wibracje (wyobraź sobie, że wiązanie między atomami jest jak sprężyna, naprzemiennie rozciągająca się i ściskająca), które, jak się okazało, również zostały skwantowane. W bardzo wysokich temperaturach gazy dwuatomowe mają 7 dostępnych stopni swobody, co według ciebie byłoby klasyczne w każdej temperaturze. Mechanika kwantowa zapewnia podobne wyjaśnienie pojemności cieplnej tlenu i azotu.

Einstein zaproponował w 1906 r., Że kwantyzacja może rozwiązać ten pozorny konflikt między prawem ekwipunku Maxwella i Boltzmanna a eksperymentalnie zmierzonymi krzywymi dla określonych temperatur gazów dwuatomowych. Jego hipoteza została potwierdzona przez Nernsta w 1910 r., Kiedy zmierzył z dokładnością specyficzne temperatury różnych gazów i stwierdził, że zgadzają się one z teoretycznymi przewidywaniami Einsteina. Był to jeden z pierwszych eksperymentalnych testów wczesnej mechaniki kwantowej i przeszedł pomyślnie!

Ale wracając do identycznych cząstek, istnieje inny sposób, w jaki kwantowo-mechaniczna teoria gazów różni się zasadniczo od starej klasycznej teorii gazów z 1800 roku.

Gdyby poszczególne cząstki gazu były rozróżnialne, wówczas gdy schłodzisz gaz do zera absolutnego, wszystkie spadłyby do stanu podstawowego - którykolwiek z nich ma najniższą energię. Zwykle można by pomyśleć, że stan podstawowy to taki, w którym każda cząstka jest w pełni w spoczynku i nie ma energii kinetycznej, energii rotacyjnej ani żadnego innego rodzaju ruchu lub energii wewnętrznej.

Ale w przypadku gazu fermionów ich nierozróżnialność prowadzi do zasady wykluczenia Pauliego, która zabrania więcej niż jednej identycznej cząstce przejścia w ten sam stan. Dlatego nie wszyscy mogą znajdować się w stanie podstawowym. Często poziomy energii, które może zajmować cząstka, są reprezentowane przez schemat drabinkowy, na którym każdy poziom energii jest kolejnym szczeblem na drabinie. Zwykle występuje również „degeneracja”, w której wiele stanów ma dokładnie taką samą energię - w takim przypadku mogą być reprezentowane przez ten sam szczebel na drabinie, o ile śledzimy fakt, że występuje w tym degeneracja (wiele stanów) szczebel drabiny.

To, co dzieje się, gdy gaz fermionów (znany również jako gaz Fermiego) schładza się do zera absolutnego, polega na tym, że każdy stan danej energii zostaje wypełniony, zaczynając od stanu podstawowego i przesuwając się po drabinie, aż wszystkie cząstki gaz jest rozliczany i ma szczebel. Ponownie, z powodu degeneracji, wiele cząstek może znajdować się na tym samym szczeblu. Ale dopóki zwyrodnienie jest niewielkie w porównaniu z całkowitą liczbą cząstek, oznacza to, że wiele szczebli zostanie wypełnionych. Po wypełnieniu wszystkich szczebli cząstkami najwyższy poziom energii, który się wypełnia, nazywa się „energią Fermiego”.

W 1910 roku, w tym samym roku, w którym Nernst potwierdził kwantową teorię pojemności cieplnych gazów dwuatomowych, astronomowie odkryli nowy typ gwiazdy. W 1922 roku zostanie nazwany „białym karłem”, ale już w 1910 roku astronomowie zauważyli, że różni się od zwykłych gwiazd i ma dość dziwne właściwości. Zastanawiające było to, że gwiazda tego rodzaju wydawała się zbyt gęsta, aby fizyka klasyczna mogła wyjaśnić, w jaki sposób mogła świecić.

Syriusz B (mała kropka) to najbliższa gwiazda białego karła

Masa białego karła jest podobna do masy Słońca, a jednak cała ta masa jest upakowana w maleńką kulę, która zwykle jest mniej więcej tego samego rozmiaru co Ziemia. Biorąc pod uwagę, że Słońce jest około 333 000 razy masywniejsze niż Ziemia, oznacza to, że jest to wyjątkowo gęsty rodzaj materii. W tamtym czasie było znacznie gęstsze niż cokolwiek, co fizycy kiedykolwiek widzieli lub słyszeli, chociaż gwiazdy miały płonąć gazami jonów (zwanymi także plazmami), a nie ciałami stałymi. Jeśli byłby to jakaś gęsta substancja stała, to dlaczego miałaby w ogóle świecić?

Okazało się, że to rzeczywiście plazma, a nie ciało stałe. Ale to było naprawdę bardzo gęste. Żadna klasyczna teoria gazów nie może wyjaśnić, w jaki sposób gaz może być tak gęsty, a nie zapaść się sam z powodu swojej grawitacji. W 1926 r. RH Fowler poprawnie wyjaśnił, korzystając z matematyki mechaniki kwantowej, że białe karły są w rzeczywistości gazami Fermiego, a nie klasycznymi.

Innymi słowy, biały karzeł to gaz identycznych fermionów. W szczególności jest to gaz elektronów. W wysokich temperaturach i niskich ciśnieniach gaz elektronów zachowuje się inaczej niż zwykły klasyczny gaz. Nie ma znaczenia, że ​​poszczególne elektrony są identyczne, ponieważ dostępnych jest znacznie więcej stanów niż elektronów. Mają dużą objętość do poruszania się i wiele różnych sposobów, w jakie mogą się poruszać, ponieważ temperatura jest wystarczająco wysoka. Ale wystarczająco schłodź ten sam gaz lub podnieś ciśnienie, aby zapakował się w wystarczająco małą objętość, a wtedy elektrony zaczynają być ściskane do tych samych stanów. Tyle że nie mogą wejść w dokładnie ten sam stan z powodu zasady wykluczenia Pauliego. Więc po prostu wypełniają stany z grubsza do energii Fermiego i przestają.

Gdyby były to cząstki dające się odróżnić, wszystkie musiałyby przejść do tego samego stanu, a energia byłaby zasadniczo zerowa - brak ruchu w stanie podstawowym. Ale ponieważ są fermionami, istnieje „presja zwyrodnieniowa”, która uniemożliwia im przejście do tego samego stanu i zapobiega zapadaniu się całej masy z powodu grawitacji. Statystyka zachowań fermionów w tej sytuacji jest znana jako „statystyka Fermiego-Diraca”, która staje się podobna do klasycznej „statystyki Maxwella-Boltzmanna” w granicy wysokich temperatur i niskich ciśnień. Statystyki w tym kontekście odnoszą się do prawdopodobieństwa, że ​​każda cząstka będzie miała daną energię w równowadze, w funkcji temperatury. Lub inny sposób powiedzenia: jaka jest oczekiwana liczba cząstek, które zostaną znalezione na każdym poziomie energii dla systemu po osiągnięciu równowagi?

Można uzyskać statystyki Maxwella-Boltzmanna, policząc, ile różnych unikatowych stanów mogą zajmować cząstki za pomocą kombinatoryki, a następnie ustalając, gdzie ten rozkład stanów osiąga maksimum (reprezentując również maksymalną entropię, czyli równowagę). W przypadku niższych energii degeneracja jest ogólnie niższa, więc stanów nie ma tak wiele. Ale jeśli energia pojedynczej cząstki jest zbyt wysoka, to zmniejsza ilość energii pozostałej do rozdzielenia między inne cząstki, powodując mniej możliwych kombinacji. Istnieje więc równowaga, stan równowagi, w którym cały układ ma maksymalną entropię, gdy stany danej energii są wypełnione oczekiwaną liczbą cząstek N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i to zwyrodnienie; reprezentuje liczbę stanów na danym poziomie energii E_i. Współczynnik e ^ (- E_i / kT) (gdzie k jest stałą Boltzmanna, a T temperatura) jest znany jako „współczynnik Boltzmanna”. Współczynnik Boltzmanna oznacza, że ​​gdy poruszamy się po drabinie poziomów energii, liczba cząstek zajmujących każdy szczebel staje się wykładniczo coraz mniejsza (nawet jeśli jest ich coraz więcej miejsca z powodu degeneracji). Ale temperatura kontroluje szybkość tego wykładniczego spadku. Grecki symbol µ w e ^ (E_i-µ) / (kT) nazywa się „potencjałem chemicznym” i na razie jest nieistotny, ale reprezentuje, o ile zwiększyłaby się całkowita energia układu, gdyby dodano do niego dodatkową cząstkę . (W wielu systemach µ wynosi 0 lub około 0, więc często nawet nie jest uwzględniane).

Tak długo, jak gaz jest na tyle rzadki, że nie musimy się martwić, że dwie różne cząsteczki zajmują ten sam stan (oczekiwane N_i we wszystkich stanach są mniejsze niż 1), to ta sama pochodna działa dobrze dla fermionów lub bozonów - to nie ma znaczenia, oba prowadzą do tych samych statystyk Maxwella-Boltzmanna. Jeśli jednak weźmiesz pod uwagę przypadek, w którym gaz jest bardzo gęsty lub ma wystarczająco niską temperaturę, nagle ma duże znaczenie, czy cząstki są fermionami czy bozonami (lub żadnymi, które tak naprawdę nie występują w naturze, ale można to sobie wyobrazić) . W przypadku fermionów spodziewana liczba cząstek zajmujących każdy poziom energii po policzeniu stanów i znalezieniu ich maksimum wynosi N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - jest to tak zwane Statystyka Fermi-Dirac. Dla warunków wysokiej gęstości w gwiazdach białego karła lub warunków niskiej temperatury w innych gazach Fermiego potencjał chemiczny µ staje się ważny i jest w przybliżeniu taki sam jak energia Fermiego omówiona wcześniej (a dla temperatury zerowej jest dokładnie taka sama). Zauważ, że jedyną różnicą między statystykami Maxwella-Boltzmanna a statystykami Fermiego-Diraca jest „+1” we wzorze Fermiego-Diraca. Taka niewielka różnica, a jednak ma tak ogromny wpływ na zachowanie materii!

Co z bozonami? Nie przestrzegają zasady wykluczenia Pauliego, więc czy gaz bozonów nie różni się niczym od zwykłego klasycznego gazu? Nie, bozony mają swój własny zestaw statystyk, które nazywają „statystykami Bosego-Einsteina”, które różnią się od statystyk Maxwella-Boltzmanna i Fermiego-Diraca.

Mimo że nie przestrzegają zasady wykluczenia Pauliego, identyczne bozony wciąż różnią się od wyróżnialnych cząstek, ponieważ kombinatoryka jest wciąż inna. Pamiętasz, jak rozmawialiśmy o stanach kwantowych w przestrzeni Hilberta? W przypadku pary identycznych bozonów, z których każdy ma tylko 2 dostępne stany, widzieliśmy, że para ma tylko 3 możliwe stany, w których mogą być, zamiast 4, których można by oczekiwać, gdyby były rozróżnialne. Uogólnienie polega na tym, że dla zbioru N identycznych bozonów z dostępnymi stanami K istnieje „N wybierz K-1” = (N + K-1)! / N! / (K-1)! mogą istnieć różne unikalne stany, zamiast K ^ N dla wyróżnialnych cząstek. (Gdzie oczywiście znaki! Są matematycznymi symbolami czynnikowymi, jak w części 1.) Możesz łatwo sprawdzić, czy działa to w moim oryginalnym przykładzie, w którym N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Umożliwiając każdemu poziomowi energii różną liczbę stanów zdegenerowanych K_i, formuła musi zostać rozszerzona o iloczyn wielu czynników w każdej postaci (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (to samo co powyżej, tylko z i indeksami dolnymi, aby rozróżnić różne poziomy energii E_i). Po zastosowaniu rachunku różniczkowego do znalezienia maksimum tego wyrażenia, wynikowy stan równowagi można zidentyfikować jako taki, w którym występują cząsteczki N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) na każdym poziomie energii E. Jest to wzór na statystyki Bosego-Einsteina. Zauważ, jedyną różnicą między tym a formułą Fermi-Diraca jest to, że +1 jest teraz -1! Dzięki temu wszystkie 3 z nich są łatwiejsze do zapamiętania. Chociaż zwykle dla bozonów, µ wynosi 0, ponieważ można je łatwo utworzyć lub zniszczyć - na przykład liczba fotonów nie jest zachowana w naszym wszechświecie, więc mogą pojawiać się i znikać bez żadnych kosztów w razie potrzeby.

Wzór na statystyki Einsteina-Bose'a został odkryty przez indyjskiego fizyka o nazwisku Satyendra Nath Bose, rok lub dwa przed odkryciem statystyk Fermi-Diraca i zastosowanych do białych karłów. Historia tego, jak do niej doszedł, jest fascynująca. Wykładał w 1924 r. W Indiach Brytyjskich (w ramach tego, co obecnie nazywa się Bangladesz) na temat „katastrofy ultrafioletowej”. Katastrofa ultrafioletowa to nazwa nadana na początku XX wieku problemowi, że nikt nie wiedział, jak w pełni wyprowadzić wzór Plancka na promieniowanie ciała doskonale czarnego z mechaniki statystycznej, którą szczegółowo omawiam w najbardziej popularnym jak dotąd dziele na Medium (historia o tym, jak Planck natknął się na mechanikę kwantową, badając entropię).

Planck słusznie zauważył, że kluczem było założenie, że energia została w jakiś sposób skwantyzowana, ale nie udało mu się opracować idealnie czystej pochodnej od pierwszych zasad, bez uwzględnienia pewnych ad hoc założeń dotyczących trybów wibracji w środku piekarniki Bose przechodził proces demonstracji przed publicznością, dlaczego zaczynając od podstawowej kombinacji stanów i poziomów energii, kończy się niewłaściwa formuła. Tyle że na końcu wydarzył się dziwny cud - zaskoczył siebie i wszystkich, przypadkowo trafiając na właściwą formułę. Spojrzał wstecz na to, co zrobił, i zdał sobie sprawę, że popełnił błąd - licząc stany, policzył je w „niewłaściwy” sposób. Przypadkowo potraktował fotony, jakby wszystkie były identyczne i wymienne, a nie rozróżnialne, jak wcześniej zakładano. Po zastanowieniu się nad tym zdał sobie sprawę, że być może coś mu się przydarzyło - może wcale nie był to błąd. Nie wiedział, kto jeszcze o tym opowiedzieć, więc postanowił napisać list do Alberta Einsteina. Einstein był natychmiast bardzo podekscytowany i pomógł mu opublikować artykuł na ten temat.

Satyendra Nath Bose

Pierwszym kluczem do odtworzenia formuły Plancka było to, że światło jest kwantowane na poszczególne pakiety energii zwane obecnie fotonami. Ale drugim wielkim kluczem było to, że fotony te nie mają żadnych indywidualnych tożsamości. Oprócz tego, że niektóre mają inną energię i pęd niż inne, wszystkie są identyczne. Z perspektywy czasu wiele z wcześniejszych prac Boltzmanna i Gibbsa nad mechaniką statystyczną miało sens. Był czynnik N! wrzucone do równań, aby rozkład Maxwella-Boltzmanna działał poprawnie i aby entropia była odpowiednio skalowana względem objętości. Gibbs zdawał sobie sprawę, że ma to coś wspólnego z traktowaniem cząstek tak, jakby były one wymienne, ale nikt nie zwracał na to większej uwagi ani nie wziął tego sobie do serca. Przed Bosesem generalnie wszyscy nadal zakładali, że cząstki będą się od siebie odróżniać na pewnym poziomie, przynajmniej w zasadzie.

Przypadkowy błąd Bose'a w Bangladeszu pozwolił całemu światu fizyki włożyć gwóźdź do trumny za ideę, że każda cząstka kwantowa ma swoją własną tożsamość. Gdyby tak było, byłoby więcej stanów i nadal mielibyśmy katastrofę ultrafioletową na naszych rękach - termodynamika rozpoznawalnych fotonów nigdy nie byłaby w stanie odtworzyć promieniowania ciała czarnego obserwowanego w piecach ciała czarnego od końca 1800 roku. Nie bylibyśmy również w stanie wyjaśnić, dlaczego słońce lub inne źródła światła nie emitują nieskończonej ilości energii.

I to - moi przyjaciele - jest opowieść o tym, jak dowiedzieliśmy się, że wszystkie elektrony są identyczne!

Kliknij przycisk klaśnięcia, jeśli znalazłeś te informacje, dzięki :-)